Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都为a，P为线段A₁B上的动点．
（Ⅰ）试确定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小．

Answer 1

分析：【法一】（Ⅰ）利用三角形的中位线，可确定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）先作出二面角P-AC-B的平面角，再进行计算；
【法二】建立空间直角坐标系，（Ⅰ）由

CP

•

AB

=0，可确定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）确定平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：解：【法一】（Ⅰ）当PC⊥AB时，作P在AB上的射影D，连接CD，则AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD，∴D是AB的中点，
又PD∥AA₁，∴P也是A₁B的中点，即A₁P：PB=1．
反之当A₁P：PB=1时，取AB的中点D'，连接CD'、PD'．
∵△ABC为正三角形，∴CD'⊥AB．
由于P为A₁B的中点时，PD'∥A₁A
∵A₁A⊥平面ABC，∴PD'⊥平面ABC，∴PC⊥AB．…6′
（Ⅱ）当A₁P：PB=2：3时，作P在AB上的射影D，则PD⊥底面ABC．
作D在AC上的射影E，连接PE，则PE⊥AC，∴∠DEP为二面角P-AC-B的平面角．
又∵PD∥AA₁，∴

BD

DA

=

BP

PA1

=

3

2

，∴AD=

2

5

a．
∴DE=AD•sin60°=

3

5

a，
又∵

PD

AA1

=

3

5

，∴PD=

3

5

a，∴tan∠PED=

PD

DE

=

3

，∴P-AC-B的大小为∠PED=60°．…12
【法二】以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，设P（x，0，z），则B（a，0，0）、A₁（0，0，a）、C(

a

2

，

3 a

2

，0)．
（Ⅰ）由

CP

•

AB

=0得(x-

a

2

，-

3 a

2

，z)•(a，0，0)=0，即(x-

a

2

)•a=0，
∴x=

1

2

a，即P为A₁B的中点，也即A₁P：PB=1时，PC⊥AB．…4′
（Ⅱ）当A₁P：PB=2：3时，P点的坐标是(

2a

5

，0，

3a

5

)．
取

m

=(3，-

3

，-2)．则

m

•

AP

=(3，-

3

，-2)•(

2a

5

，0，

3a

5

)=0，

m

•

AC

=(3，-

3

，-2)•(

a

2

，

3 a

2

，0)=0．
∴

m

是平面PAC的一个法向量．
又平面ABC的一个法向量为

n

=(0，0，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…（12分）

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，考查利用向量知识解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．