Question

在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=AB=AC=

3

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BC，点D是BC边的中点，点E是线段AD上一点，且AE=4DE，点M是线段SD上一点．
（1）求证：BC⊥AM；
（2）若AM⊥平面SBC，求证EM∥平面ABS．

Answer 1

分析：对（1），通过证明线面垂直⇒线线垂直即可；
对（2），将空间几何问题转化为平面几何问题，在△SAD中利用M、E分线段SD、AD成等比例，
证明ME与SA平行，再由线线平行⇒线面平行．

解答：证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴SA⊥BC，SA∩AD=A，∴BC⊥平面SAD
∵AM?平面SAD，
∴BC⊥AM．
（2）∵AM⊥面SBC，SD?平面SBC⇒AM⊥SD，
∵SA=AB=AC=

3

3

BC，可设BC=3，SA=

3

在△ABC中，cos∠A=

3+3-9

2× 3 × 3

=-

1

2

，∴∠A=

2π

3

∴AD=

3

2

．
在Rt△SAD中，

SA

AD

=2=

AM

MD

=

SM

AM

，∴SM=4MD，∵AE=4ED，

∴ME∥SA，ME?平面ABS，SA?平面ABS．
∴EM∥平面ABS．

点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定．利用平面几何知识证明线线平行是本题证明（II）的关键；另：将空间几何问题转化为平面几何问题是解决问题的常用方法．