试题分析:(Ⅰ)由图形的对称性作出辅助线,用三角函数求出相关线段长度;(Ⅱ)设∠EOC=θ,与(Ⅰ)类似用三角函数表示出相关线段长度和矩形ABCD的面积,继而求关于θ的三角函数的最大值.
试题解析:如图,记
的中点为E,连结OE,OC,交BC于F,交AD于G,则∠DOG=60°.
设∠EOC=θ(0°<θ<60°).
(Ⅰ)当
=
时,θ=30°.
在Rt△COF中,OF=OCcos30°=
,CF=OCsin30°=1.
在Rt△DOG中,DG=CF=1,OG=
=
.
所以CD=GF=OF-OG=
.
(Ⅱ)与(Ⅰ)同理,
BC=2CF=4sinθ,CD=OF-OG=2cosθ-
=2cosθ-
sinθ.
则矩形ABCD的面积
S=BC·CD=4sinθ(2cosθ-
sinθ)=4sin2θ-
(1-cos2θ)=
sin(2θ+30°)-
.
因为30°<2θ+30°<150°,故当2θ+30°=90°,
即θ=30°时,S取最大值
.