Question

如果cos²θ+2msinθ-2m-2＜0对任意的θ总成立，求常数m的取值范围.

Answer 1

解:设f(θ)=cos²θ+2msinθ-2m-2,要使f(θ)＜0对任意的θ总成立，当且仅当函数y=f(θ)的最大值小于零.

f(θ)=cos²θ+2msinθ-2m-2

=1-sin²θ+2msinθ-2m-2

=-(sinθ-m)²+m²-2m-1.

∴当-1≤m≤1时,函数的最大值为m²-2m-1＜0,解得1-＜m≤1;

当m＞1时,函数的最大值为f()=-2＜0,∴m≥1时均成立;

当m＜-1时,函数的最大值为f(-)=-4m-2＜0,m＞-,矛盾,无解.

综上得,m的取值范围是m∈［1-,+∞).