Question

如果cos²θ+2msinθ-2m-2＜0对任意的θ总成立，求常数m的取值范围．

Answer 1

分析：构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，利用同角三角形函数关系，可将函数的解析式化为f（θ）=-（sinθ-m）²+m²-2m-1的形式，分-1≤m≤1，m≥1，m≤-1三种情况，讨论函数的最大值，最后汇总讨论结果，即可得到答案．

解答：解：设f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0对任意的θ总成立，当且仅当函数y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2=1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）²+m²-2m-1
∴当-1≤m≤1时，函数的最大值为m²-2m-1＜0，解得1-

2

＜m≤1；
当m≥1时，函数的最大值为f（1）=-2＜0
∴m≥1时均成立；
当m≤-1时，函数的最大值为f（-1）=-4m-2＜0，m＞-

1

2

，矛盾无解．
综上得m的取值范围是m∈(1-

2

，+∞)

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，其中构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键．