Question

△ABC中，边BC长为a，顶点A在移动过程中分别满足下列条件之一．
（1）sinC-sinB=

1

2

sinA；
（2）bcosB=ccosC，求A点的轨迹方程．

Answer 1

分析：对于（1）由正弦理，等式两边同乘以2R，可得c-b=

1

2

a＜a，由定义知此种情况下顶点A的轨迹是双曲线的一支；
对于（2）b cosB=c cosC，分析知，顶点A在BC的垂直平分线上，即其轨迹为线段的垂直平分线．

解答：解：（1）等式两边同乘以2R，
得2RsinC-2RsinB=

1

2

2RsinA，即c-b=

1

2

a，
由双曲线的定义知，点A的轨迹是双曲线．
建立如图所示的坐标系．
则点C（-

1

2

a，0），点B（

1

2

a，0）设A（x，y）
|AC|-|AB|=

1

2

a，即双曲线的实半轴长为

a

4

，
虚半轴长的平方为

a2

4

-

a2

16

=

3a2

16

故点A的轨迹方程为

x2

a2 16

+

y2

3a2 16

=1
（2）由题意，bcosB=ccosC，可得sinBcosB=sinCcosC，
即sin2B=sin2C，
所以2B=2C或2B+2C=π，即B=C或B+C=

π

2

则点A的轨迹方程是x=0或以BC为直径的圆，
故所求的轨迹方程为x=0或x2+y2=

a2

4

点评：考查正弦定理，双曲线的定义，垂直平分线的定义．知识性较强．