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(2009•湖北模拟)如图甲,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=
.
2
点M、N分别在AB,CD上,且MN⊥AB,MC⊥CB,BC=2,MB=4,现将梯形ABCD沿MN折起,使平面AMND与平面MNCB垂直(如图乙).
(Ⅰ)求证:AB∥平面DNC;
(Ⅱ)当DN=
3
2
时,求二面角D-BC-N的大小.
分析:(Ⅰ)证明AB所在平面MAB与平面DNC平行,即可证明AB∥平面DNC;
(Ⅱ) 过N作NH⊥BC交BC延长线于H,说明∠DHN为二面角D-BC-N的平面角,可求NH的长,利用DN的长,可求二面角D-BC-N的大小.
解答:解:(Ⅰ)证明:∵MB∥NC,MB?平面DNC,NC?平面DNC,
∴MB∥平面DNC.
同理MA∥平面DNC,又MA∩MB=M,且MA、MB?平面MAB
∴平面MAB∥平面DNC.
平面MAB∥平面NCD
AB?平面MAB
AB∥平面DNC.
(Ⅱ) 过N作NH⊥BC交BC延长线于H,

∵平面AMND⊥平面MNCB,DN⊥MN,
∴DN⊥平面MBCN,从而DH⊥BC,
∴∠DHN为二面角D-BC-N的平面角.
由MB=4,BC=2,∠MCB=90°知∠MBC=60°,
CN=4-2cos60°=3,∴NH=3sin60°=
3
3
3

DN=
3
2

∴tan∠NHD=
DN
NH
=
3
3

∴∠DHN=30°
点评:本题以平面图形翻折为载体,考查面面平行的判定与性质,直线与平面平行的判定,二面角及其度量,考查逻辑思维能力,空间想象能力,计算能力,是中档题.
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π
2
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π
3
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1
2
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>0.则给出下列命题:
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①②④
①②④
.(请将你认为是真命题的序号都填上)

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