Question

8．已知△ABD和△BCD是两个直角三角形，∠BAD=∠BDC=$\frac{π}{2}$，E、F分别是边AB、AD的中点，现将△ABD沿BD边折起到A₁BD的位置，如图所示，使平面A₁BD⊥平面BCD．
  （Ⅰ）求证：EF∥平面BCD；
（Ⅱ）求证：平面A₁BC⊥平QUOTE A₁BC⊥面A₁CD；
（Ⅲ）请你判断，A₁C与BD是否有可能垂直，做出判断并写明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：EF∥BD，即可证明EF∥平面BCD；
（Ⅱ）证明A₁B⊥平面A₁CD，即可证明平面A₁BC⊥平面A₁CD；
（Ⅲ）利用反证法进行证明．

解答 （Ⅰ）证明：因为E、F分别是边AB、AD的中点，
所以EF∥BD，
因为EF?平面BCD，BD?平面BCD，
所以EF∥平面BCD．------------（4分）
（Ⅱ）证明：因为平面A₁BD⊥平面BCD，平面A₁BD∩平面BCD=BD，
CD?平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面A₁BD．
因为A₁B?平面A₁BD，
所以CD⊥A₁B，
因为A₁B⊥A₁D，A₁D∩CD=D，
所以A₁B⊥平面A₁CD．
因为A₁B?平面A₁BC，
所以平面A₁BC⊥平面A₁CD．------------（10分）
（Ⅲ）结论：A₁C 与BD 不可能垂直．
理由如下：
假设A₁C⊥BD，
因为CD⊥BD，A₁C∩CD=C，
所以BD⊥平面A₁CD，
因为A₁D⊥平面A₁CD，
所以BD⊥A₁D与 A₁B⊥A₁D矛盾，故A₁C 与不可能垂直．----------------（13分）

点评 本题考查线面平行、面面垂直的判定，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．