Question

13．已知函数$f（x）=2sin（2x+φ）\;（|φ|＜\frac{π}{2}）$部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x₀的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的部分图象得出最小正周期T以及x₀的值；
（Ⅱ）写出f（x）的解析式，利用正弦函数的图象与性质即可求出f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数$f（x）=2sin（2x+φ）\;（|φ|＜\frac{π}{2}）$，
∴函数的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；        …（2分）
因为点（0，1）在f（x）=2sin（2x+φ）的图象上，
所以2sin（2×0+φ）=1；
又因为|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以φ=$\frac{π}{6}$，…（4分）
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{6}$，
所以x₀=π+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$；          …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
因为0≤x≤$\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最大值2；
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值-1．…（13分）

点评 本题考查了根据正弦函数的部分图象求函数解析式的应用问题，是基础题目．