Question

5．已知Rt△ABC的周长为定值l，则它的面积最大值为$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 设三边法不为a，b，c，c为斜边，则c²=a²+b²．由a+b+c=1，可得a²+b²=（1-a-b）²，化为：1-2a-2b+2ab=0，变形1+2ab=2（a+b），再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：设三边为a，b，c，c为斜边，则c²=a²+b²．
∵a+b+c=1，
∴a²+b²=（1-a-b）²，化为：
1-2a-2b+2ab=0，
∴1+2ab=2（a+b）≥4$\sqrt{ab}$，化为：$2（\sqrt{ab}）^{2}$-4$\sqrt{ab}$+1≥0，解得$\sqrt{ab}$≥$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，（舍去），
或$\sqrt{ab}$≤$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，即ab≤$（\frac{2-\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$．当且仅当a=b=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴它的面积最大值=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质与三角形面积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．