Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{2}{5}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3-{a}_{n}}$，n∈N^*．
（1）求a₂；
（2）求{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式；
（3）设{a_n}的前n项和为S_n，求证：$\frac{6}{5}$（1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ）≤S_n＜$\frac{21}{13}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{2}{5}$，a${\;}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}}{3-{a}_{n}}$，n∈N⁺．取n=1，代入即可得出．
（2）a₁=$\frac{2}{5}$，a${\;}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}}{3-{a}_{n}}$，n∈N⁺．两边取倒数可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$，化为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{3}{2}（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）一方面：由（2）可得：a_n=$\frac{1}{1+（\frac{3}{2}）^{n}}$≥$\frac{1}{（\frac{3}{2}）^{n}+（\frac{3}{2}）^{n-1}}$=$\frac{2}{5}×（\frac{2}{3}）^{n-1}$．再利用等比数列的求和公式即可证明：不等式左边成立．另一方面：a_n=$\frac{1}{1+（\frac{3}{2}）^{n}}$$＜\frac{1}{（\frac{3}{2}）^{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$，可得S_n≤$\frac{2}{5}$+$\frac{4}{13}$+$（\frac{2}{3}）^{3}+（\frac{2}{3}）^{4}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n}$，利用等比数列的求和公式即可证明不等式右边成立．

解答 （1）解：∵a₁=$\frac{2}{5}$，a${\;}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}}{3-{a}_{n}}$，n∈N⁺．∴a₂=$\frac{2×\frac{2}{5}}{3-\frac{2}{5}}$=$\frac{4}{13}$．
（2）解：∵a₁=$\frac{2}{5}$，a${\;}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}}{3-{a}_{n}}$，n∈N⁺．∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{2{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$，
化为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{3}{2}（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}-1\}$是等比数列，首项与公比都为$\frac{3}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$（\frac{3}{2}）^{n}$，
解得$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$（\frac{3}{2}）^{n}$．
（3）证明：一方面：由（2）可得：a_n=$\frac{1}{1+（\frac{3}{2}）^{n}}$≥$\frac{1}{（\frac{3}{2}）^{n}+（\frac{3}{2}）^{n-1}}$=$\frac{2}{5}×（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
∴S_n≥$\frac{2}{5}[1+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}]$=$\frac{2}{5}×\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{6}{5}$$[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$，因此不等式左边成立．
另一方面：a_n=$\frac{1}{1+（\frac{3}{2}）^{n}}$$＜\frac{1}{（\frac{3}{2}）^{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴S_n≤$\frac{2}{5}$+$\frac{4}{13}$+$（\frac{2}{3}）^{3}+（\frac{2}{3}）^{4}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n}$=$\frac{46}{65}+$$\frac{8}{27}$×$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n-2}}{1-\frac{2}{3}}$＜$\frac{46}{65}+$$\frac{8}{27}$×3＜$\frac{21}{13}$（n≥3）．
又n=1，2时也成立，因此不等式右边成立．
综上可得：$\frac{6}{5}$（1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ）≤S_n＜$\frac{21}{13}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．