Question

4．如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A₁DC与平面A₁OB的交线．

（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；
（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A₁D，求出A₁G的长；
（3）求直线A₁O与平面A₁BD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的性质判断并证明直线DC与直线m的位置关系；
（2）A₁D在平面A₁OB中的射影为A₁O，OG⊥A₁O，即可求出A₁G的长；
（3）求出O到平面A₁DB的距离，即可求直线A₁O与平面A₁BD所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵DC∥OB，DC?平面A₁OB，OB?平面A₁OB
∴DC∥平面A₁OB，
∵m为平面A₁DC与平面A₁OB的交线，
∴DC∥m；
（2）由题意，A₁D在平面A₁OB中的射影为A₁O，
∴OG⊥A₁O，∴A₁G=2A₁O=4；
（3）△A₁OB中，A₁B=$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，
∵A₁D=DB=2$\sqrt{2}$，∴${S}_{△{A}_{1}DB}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{8-3}$=$\sqrt{15}$，
设O到平面A₁DB的距离为h，则$\frac{1}{3}\sqrt{15}•h=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•2•\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵A₁O=2，
∴直线A₁O与平面A₁BD所成角的正弦值=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．