Question

设平面上3个向量

a

，

b

，

c

的模均为1，它们相互之间的夹角为120°．
（1）判断(

a

-

b

)与

c

是否垂直？并说明理由．
（2）若|k

a

+

b

+

c

|＜1，（k∈R），求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积的定义，计算(

a

-

b

)•

c

的值等于0，可得(

a

-

b

)⊥

c

．
（2）由 |k

a

+

b

+

c

|＜1可得 (k

a

+

b

+

c

)2＜1，化简可得k²-2k＜0，解不等式求得k的取值范围．

解答：解：（1）∵|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，(

a

-

b

)•

c

=

a

•

c

-

b

•

c

=1×1cos120°-1×1cos120°=0，
∴(

a

-

b

)⊥

c

．
（2）∵|k

a

+

b

+

c

|＜1，∴(k

a

+

b

+

c

)2＜1，
∴k2

a

2+

b

2+

c

2+2k

a

•

b

+2k

a

•

c

+2

b

•

c

＜1，
∴k²-2k＜0，∴k∈（0，2）．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的条件，由 |k

a

+

b

+

c

|＜1 得到(k

a

+

b

+

c

)2＜1，是解题
的关键．