Question

在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题?

Answer 1

思路分析：本题的条件较多，利用Venn图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，如图所示，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b.

解：根据已知条件(1)(2)(3)(4),可得

    a+b+c+d+e+f+g=25,                                                    ①

    b+f=2(c+f),                                                           ②

    a=d+e+g+1,                                                           ③

    a=b+c.                                                                ④

    ②代入①,得a+2b-c+d+e+g=25.                                           ⑤

    ③代入⑤,得2b-c+2d+2e+2g=24.                                          ⑥

    ④代入⑤,得3b+d+e+g=25.                                               ⑦

    ⑦×2-⑥,得4b+c=26.                                                    ⑧

    由于c≥0，所以b≤.

    利用②⑧消去c，得f=b-2(26-4b)=9b-52.

    因为f≥0，所以b≥.

    则有b=6，即只解出第二题的学生有6人.