Question

在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题？

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：本题的条件较多，利用Venn图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，如图，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a，b，c，d，e，f，g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b． 　　解：根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得 　　a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＝25，　　① 　　b＋f＝2(c＋f)，　　② 　　a＝d＋e＋g＋1，　　③ 　　a＝b＋c．　　④ 　　②代入①得a＋2b－c＋d＋e＋g＝25，　　⑤ 　　③代入⑤得2b－c＋2d＋2e＋2g＝24，　　⑥ 　　④代入⑤得3b＋d＋e＋g＝25，　　⑦ 　　⑦×2－⑥得4b＋c＝26．　　⑧ 　　由于c≥0，所以b≤6． 　　利用②⑧消去c，得f＝b－2(26－4b)＝9b－52． 　　因为f≥0，所以b≥5． 　　则有b＝6，即只解出第二题的学生有6人．