Question

下列不等式一定成立的是（　　）

Answer 1

分析：lg（x2+

1

4

）≥lgx，（x＞0）；当-1＜sinx＜0时，sinx+

1

sinx

＜0；x+

1

x

≥2的前提条件是x＞0；由x²+1≥1，知

1

x2+1

≤1（x∈R）．

解答：解：∵x＞0，∴x2+

1

4

-x=（x-

1

2

）²≥0，
∴x2+

1

4

≥x，∴lg（x2+

1

4

）≥lgx，故A不成立；
当-1＜sinx＜0时，sinx+

1

sinx

＜0，
∴sinx+

1

sinx

≥2（x≠kπ，k∈Z）不成立，故B不成立；
∵x+

1

x

≥2的前提条件是x＞0，
∴x+

1

x

≥2（x∈R）不成立，故C不成立；
∵x∈R，∴x²+1≥1，
∴

1

x2+1

≤1（x∈R），故D正确．
故选D．

点评：本题考查基本不等式的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．