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如图,在双曲线-=1的上支上有三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它们与点F(0,5)的距离成等差数列.

(1)求y1+y3的值;

(2)证明线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标.

(1)解:c==5,故F为双曲线的焦点,设准线为l,离心率为e,由题设有

    2|FB|=|FA|+|FC|.                                               ①

    分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2,交l于A1、B1、C1,则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|,|FA|=e|AA1|,|FC|=e|CC1|,代入①式,得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|,

    即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.

    于是两边均加上准线与x轴距离的2倍,有2|BB2|=|AA2|+|CC2|,

    此即2×6=y1+y3,可见y1+y3=12.

(2)证明:AC的中垂线方程为

    y-=-(x-),

    即y-6=-x+.                           ②

    由于A、C均在双曲线上,

    所以有-=1,-=1.

    相减得=.于是有=(y1+y3)=·12=13,

    故②变为y=-x+,易知此直线过定点D(0,).

讲评:利用第二定义得焦半径,可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点,中点问题往往把A、C的坐标代入方程,两式相减、变形,即可解决问题.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在双曲线
y2
12
-
x2
13
=1的上支上有三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它们与点F(0,5)的距离成等差数列.
(1)求y1+y3的值;
(2)证明:线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标.

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2
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如图,在双曲线数学公式-数学公式=1的上支上有三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它们与点F(0,5)的距离成等差数列.
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(2)证明:线段AC的垂直平分线经过某一定点,并求此点坐标.

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