Question

如图，在双曲线-=1的上支上有三点A（x₁，y₁），B（x₂，6），C（x₃，y₃），它们与点F（0，5）的距离成等差数列．
（1）求y₁+y₃的值；
（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出焦点坐标和准线方程，依据双曲线第二定义有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入
2|FB|=|FA|+|FC|得，2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|，即2（6-）=+，求出y₁+y₃ 的值．
（2） 用点斜式求出 线段AC的中垂线的方程 为 y-6=-（x-） ①，
 把 ，，相减得 ，
可得x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得  y=-x+，显然过定点（0，）．
解答：（1）解：c==5，故F为双曲线的焦点，设F对应准线为l，则l的方程 y=，离心率为e==，
由题设有2|FB|=|FA|+|FC|．①分别过A、B、C作x轴的垂线AA₂、BB₂、CC₂，交l于A₁、B₁、C₁，
则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入①式，得 2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|，
即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|．∴2（6-）=+，∴y₁+y₃=12．
（2）证明：线段AC中点D（，6），线段AC的斜率为 ，
∴线段AC的中垂线的斜率为-，∴线段AC的中垂线的方程为 y-6=-（x-） ①，
 又A、C在双曲线上，∴，，相减得 ，
∴x₁²-x₃²=13（y₁-y₃），代入①得  线段AC的中垂线的方程为 y=-x+，
显然过定点（0，）．
点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，等差数列的定义．