Question

给出下列四个命题：
（1）函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
（2）函数y=x³与y=3^x的值域相同；
（3）函数f(x)=

5+4x-x2

的单调递增区间为（-∞，2]；
（4）函数y=

1

2

+

1

2x-1

与y=lg(x+

x2+1

)都是奇函数．
其中正确命题的序号是

（1）（4）

（把你认为正确的命题序号都填上）．

Answer 1

分析：（1）函数y=a^x与函数y=log_aa^x的定义域都为R，
（2）函数y=x³的值域为R，而y=3^x＞0，
（3）根据根式函数的性质可知函数y=5+4x-x²≥0?x∈[-1，5]，在此区间上进行函数单调性的判断；
（4）令f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

，g（x）=y=lg(x+

x2+1

)，，检验f（-x）与f（x），g（-x）与g（x）的关系可检验函数的奇偶性．

解答：解：（1）函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域都为R，故正确；
（2）函数y=x³的值域为R，而y=3^x＞0，则值域不相同，故错误；
（3）根据根式函数的性质可知函数y=5+4x-x²≥0?x∈[-1，5]，在此区间上，函数f(x)=

5+4x-x2

的单调递增区间为[-1，2]；故错；
（4）这两个函数的定义域都为R，且：
∵f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

∴f(-x)=

2-x+1

2(2-x-1)

=

1+2x

2(1-2x)

=-f（x），
而g（x）=y=lg(x+

x2+1

)，g（-x）=y=lg(-x+

(-x)2+1

)=y=-lg(x+

x2+1

)=-g（x），故都是奇函数；故（4）正确；
故答案为：（1）（4）．

点评：本题主要考查了指数函数、对数函数与幂函数的定义域 与值域的求解，函数的奇偶性的判定，二次函数与根式函数的单调区间的判定，属于函数知识的综合应用．