Question

15．如图，AC⊥平面α，AB∥平面α，CD?平面α，M、N分别是AC、BD的中点，若AB=4，AC=2，CD=4，BD=6，
（1）求证：AB⊥平面ACD；
（2）求MN的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可证AC⊥AB，AC⊥CD，利用勾股定理可得AD=$\sqrt{20}$，在△ABD中，可求BD²=AB²+AD²，由勾股定理可得：AB⊥AD，从而可证AB⊥平面ACD；
（2）取AD的中点E，连接ME，NE，则由（1）可得：NE⊥ME，且ME=$\frac{1}{2}$CD=2，NE=$\frac{1}{2}AB$=2，从而在△MNE中由勾股定理可求MN的值．

解答 证明：（1）∵AC⊥平面α，AB∥平面α，CD?平面α，
∴AC⊥AB，AC⊥CD，
∴由AC=2，CD=4，利用勾股定理可得：AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{20}$，
∴在△ABD中，有：BD²=6²=36=AB²+AD²=4²+（$\sqrt{20}$）²，由勾股定理可得：AB⊥AD，
∵AD∩AC=A，
∴AB⊥平面ACD；
（2）取AD的中点E，连接ME，NE，则EN∥AB，ME?平面ACD，
由（1）可得：NE⊥ME，且ME=$\frac{1}{2}$CD=2，NE=$\frac{1}{2}AB$=2，
故在△MNE中，由勾股定理可得：MN=$\sqrt{M{E}^{2}+N{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于基本知识的考查．