Question

6．曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$（θ∈[0，2π]，θ为参数，b＞0）与曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosφ}\\{y=2+tsinφ}\end{array}\right.$（t是参数，φ∈[0，π]）恒有公共点，则b的取值范围是{b|b≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$}．

Answer 1

分析 求出C₁的普通方程，由于C₂恒过点（-1，2），故只需令（-1，2）在曲线C₁内部或曲线C₁即可，列出不等式解出b的范围．

解答 解：曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，曲线C₂的普通方程为y-2=tanφ（x+1），即C₂为过（-1，2）的直线．
∵C₁，C₂恒有公共点，
∴点（-1，2）在曲线C₁内部或曲线C₁上．
∴$\frac{1}{4}+\frac{4}{{b}^{2}}≤1$，解得b≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$或b≤-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（舍）．
故答案为{b|b≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$}．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，直线与曲线的交点个数判断，属于中档题．