Question

18．设向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{b}$=（x，-3），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 利用两个向量垂直的性质求得x，设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则由cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$ 的值，求得θ的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{b}$=（x，-3），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$\sqrt{3}$x-3=0，∴x=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2$\sqrt{3}$，-2），设向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{6-2}{2•\sqrt{12+4}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$，
故答案：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于基础题．