Question

13．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ-4cosθ=0，直线l过点M（0，4）且斜率为-2．
（1）求曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l的标准参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）将极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义得出直线的标准参数方程；
（2）把直线参数方程代入曲线C的直角坐标方程，根据根与系数的关系个参数的几何意义计算|AB|．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ-4cosθ=0，即ρ²sin²θ-4ρcosθ=0，
∴曲线C的直角坐标方程为y²-4x=0，即y²=4x．
设直线l的倾斜角为α，则tanα=-2，∴sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=4+\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得t²+5$\sqrt{5}$t+20=0，
∴t₁+t₂=-5$\sqrt{5}$，t₁t₂=20．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程得转化，参数的几何意义及应用，属于基础题．