Question

9．圆锥底面半径为2，母线与底面成60°角，三棱锥S-ABC的顶点S是圆锥的顶点，侧棱SA、SB、SC都是圆锥的母线，则三棱锥S-ABC体积的最大值为6．

Answer 1

分析 要使三棱锥S-ABC体积最大，只需△ABC的面积最大，此时为圆的内接等边三角形，边长为2$\sqrt{3}$，求出其面积，即可求出三棱锥S-ABC体积的最大值．

解答 解：∵圆锥底面半径为2，母线与底面成60°角，
∴圆锥的高为2$\sqrt{3}$，
要使三棱锥S-ABC体积最大，只需△ABC的面积最大，此时为圆的内接等边三角形，边长为2$\sqrt{3}$，面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×12$=3$\sqrt{3}$，
∴三棱锥S-ABC体积的最大值为$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×2\sqrt{3}$=6．
故答案为：6．

点评 本题考查求三棱锥S-ABC体积的最大值，考查学生的计算能力，正确转化是关键．