Question

20．过直线x-2y+13=0上一动点A（A不在y轴上）作抛物线y²=8x的两条切线，M，N为切点，直线AM，AN分别与y轴交于点B，C．
（1）证明直线MN恒过一定点；
（2）证明△ABC的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用切线方程都过A，求出直线MN的方程，结合A在直线x-2y+13=0上，即可证明直线MN恒过一定点；
（2）确定A，B，C，F四点共圆，AF为直径，即可求解．

解答 （1）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₀，y₀），
切线AM的方程为y₁y=4（x+x₁），AN的方程为y₂y=4（x+x₂），
∵两条切线都过A，
∴M，N在y₀y=4（x+x₀）上，
∵x₀-2y₀+13=0，
∴联立可得4（x-13）=y₀（y-8），
∴直线MN恒过一定点（13，8）；
（2）由题意，抛物线的焦点坐标为F（2，0），切线AM的方程为y₁y=4（x+x₁），B（0，$\frac{4{x}_{1}}{{y}_{1}}$），
∴k_BF=-$\frac{2{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
∵k_BA=$\frac{4}{{y}_{1}}$，
∴k_BFk_BA=-$\frac{8{x}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}}$=-1，
∴BF⊥BA．
同理可得CF⊥CA，
∴A，B，C，F四点共圆，AF为直径，
∴△ABC的外接圆恒过一定点F（2，0），
由AF的最小值=点F到直线x-2y+13=0的距离d=3$\sqrt{5}$，可得圆半径的最小值为$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线过定点，考查△ABC的外接圆恒过一定点，考查学生分析解决问题的能力，确定抛物线的切线方程是关键．