Question

15．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b，c，且A=$\frac{2π}{3}$，a=2bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）若AB边上的中线CM的长为$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由a=2bcosC，利用正弦定理可得：sinA=2sinBcosC，又A=$\frac{2π}{3}$，A+B+C=π．可得：$sin\frac{2π}{3}$=sin（B+C）+sin（B-C），化简即可得出．
（2）如图所示，取BC的中点D，连接AD，则AD⊥BC．设AD=x，则BD=DC=$\sqrt{3}$x，AB=AC=2x．在△ACM中，由余弦定理可得：$（\sqrt{7}）^{2}$=x²+（2x）²-2•x•2xcos$\frac{2π}{3}$，解得x，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵a=2bcosC，∴sinA=2sinBcosC，
又A=$\frac{2π}{3}$，A+B+C=π．
∴$sin\frac{2π}{3}$=sin（B+C）+sin（B-C）=$sin\frac{π}{3}$+sin（B-C），
∴sin（B-C）=0，
∴B=C=$\frac{π}{6}$．
（2）如图所示，取BC的中点D，连接AD，则AD⊥BC．
设AD=x，则BD=DC=$\sqrt{3}$x，AB=AC=2x．
在△ACM中，由余弦定理可得：$（\sqrt{7}）^{2}$=x²+（2x）²-2•x•2xcos$\frac{2π}{3}$，
化为：x²=1，解得x=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×（2x）^{2}•sin\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．