Question

10．如图，在周长为8的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点．将矩形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°．设G为AF上一点，且满足CF∥平面BDG．

（Ⅰ）求证：EF⊥DG；
（Ⅱ）求证：G为线段AF的中点；
（Ⅲ）求线段CG长度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由E，F分别为BC，DA的中点，可证EF⊥FD，EF⊥FA，从而EF⊥平面DFA，即可得证EF⊥DG．
（Ⅱ）由AB∥EF∥CD，易证四边形ABCD为平行四边形．连接AC，设AC∩BD=O，则AO=CO，又由CF∥平面BDG，利用线面平行的性质可证CF∥OG，可证OG为中位线，即G为线段AF的中点．
（Ⅲ）由已知可得△DFA为等边三角形，且DG⊥FA，又EF⊥DG，可得DG⊥平面ABEF，设BE的中点为H，连接GH，CH，可得CG²=GH²+CH²，设DF=x，由题意得CG²=（4-2x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）²=$\frac{19}{4}$x²-16x+16，利用二次函数的图象和性质即可得解线段CG长度的最小值．

解答 （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，
所以EF⊥FD，EF⊥FA，
又因为FD∩FA=F，
所以EF⊥平面DFA．…（2分）
又因为DG?平面DFA，
所以EF⊥DG．…（4分）
（Ⅱ）证明：因为在折起前的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，
所以在立体图中，AB∥EF∥CD．
即在立体图中，四边形ABCD为平行四边形．
连接AC，设AC∩BD=O，则AO=CO．…（6分）
又因为CF∥平面BDG，CF?平面ACF，平面ACF∩平面BDG=OG，
所以CF∥OG，
所以在△ACF中，OG为中位线，
即G为线段AF的中点．…（9分）
（Ⅲ）解：因为G为线段AF的中点，∠DFA=60°．
所以△DFA为等边三角形，且DG⊥FA，
又因为EF⊥DG，EF∩FA=F，
所以DG⊥平面ABEF．
设BE的中点为H，连接GH，CH，
易得四边形DGHC为平行四边形，
所以CH⊥平面ABEF，
所以CG²=GH²+CH²．…（11分）
设DF=x，由题意得CH=DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，GH=CD=4-2x，
所以CG²=（4-2x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）²=$\frac{19}{4}$x²-16x+16，…（13分）
所以当x=$\frac{32}{19}$时，CG²_min=$\frac{48}{19}$．
所以线段CG长度的最小值为$\frac{4\sqrt{57}}{19}$．…（14分）

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二次函数的图象和性质的应用，熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定定理、性质定理是解答本题的关键，属于中档题．