Question

1．在平面直角坐标系中，定义：一条直线经过一个点（x，y），若x，y都是整数，就称该直线为完美直线，这个点叫直线的完美点，若一条直线上没有完美点，则就称它为遗憾直线．现有如下几个命题：
①如果k，b都是无理数，那么直线y=kx+b一定是遗憾直线；
②“直线y=kx+b是完美直线”的充要条件是“k，b都是有理数”；
③存在恰有一个完美点的完美直线；
④完美直线l经过无穷多个完美点，当且仅当直线l经过两个不同的完美点．
其中正确的命题是（　　）

• A． ②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ③④

Answer 1

分析 ①②③可利用特殊法求解：如y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$等；
④也可特殊处理使直线过原点，再证明即可．

解答 解：①②：如果k，b都是无理数，如y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$，显然过（1，0），是完美直线，故①②错误；
③设直线方程为y=$\sqrt{2}$x，只经过了一个完美点（0，0），所以③正确；
④设y=kx为过原点的完美直线，若此直线过不同的完美点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），把两点代入完美直线的方程得y₁=kx₁，y₂=kx₂，
两式相减得y₁-y₂=k（x₁-x₂），则（x₁-x₂，y₁-y₂）也在完美直线y=kx上，且（x₁-x₂，y₁-y₂）也为完美点，通过这种方法得到直线经过无穷多个完美点，所以④正确．
故答案为D．

点评 本题考查了新定义类型的题型，难点是对定义的认识和理解．