Question

12．设等差数列{a_n}前n项和为S_n，且a₅+a₆=24，S₁₁=143．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式求得答案；
（2）把（1）中求得的通项公式代入b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，然后利用裂项相消法求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由a₅+a₆=24，S₁₁=143，
得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=24}\\{11（{a}_{1}+5d）=143}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$=$\frac{n}{6n+9}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．