Question

2．如图，多面体ABCDEF中，BA，BC，BE两两垂直，且AB∥EF，CD∥BE，AB=BE=2，BC=CD=EF=1．
（I）若点G在线段AB上，且BG=3GA，求证：CG∥平面ADF；
（II）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （I）分别取AB，AF的中点M，H，连结MF，GH，DH，则由中位线定理可得GH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$MF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BE，又CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BE$，得出四边形CDHG是平行四边形，故CG∥DH，从而CG∥平面ADF；
（II）将多面体分解成三棱锥A-BCD和四棱锥D-ABEF，分别计算体积即可．

解答 解：（Ⅰ）分别取AB，AF的中点M，H，连结MF，GH，DH．
∵EF$\stackrel{∥}{=}$BM=$\frac{1}{2}AB$，
∴四边形BEFM是平行四边形，
∴MF$\stackrel{∥}{=}$BE．
∵G，H分别是AM，AF的中点，
∴$GH\underline{\underline∥}\frac{1}{2}MF$$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BE$，
又∵CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BE，
∴$CD\underline{\underline∥}GH$，
∴四边形CDHG是平行四边形
∴CG∥DH，又∵CG?平面ADF，DH?平面ADF
∴CG∥平面ADF
（Ⅱ）∵BA，BC，BE两两垂直，
∴AB⊥平面BCDE，BC⊥平面ABEF．
V_A-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$．
V_D-ABEF=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABEF}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×2×1$=1．
∴多面体ABCDEF的体积V=V_A-BCD+V_D-ABEF=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．