Question

8．已知数列{a_n}的首项a₁=9，其前n项和为S_n，且数列{S_n+$\frac{9}{2}$}是公比为3的等比数列．求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知条件推导出S_n=$\frac{9}{2}×{3}^{n}$-$\frac{9}{2}$，再由a_n=S_n-S_n-1，能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵数列{a_n}的首项a₁=9，其前n项和为S_n，且数列{S_n+$\frac{9}{2}$}是公比为3的等比数列，
∴${S}_{1}+\frac{9}{2}$=9+$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$，
∴S_n+$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$×3^n-1，
∴S_n=$\frac{9}{2}×{3}^{n}$-$\frac{9}{2}$，
∴${a}_{1}={S}_{1}=\frac{9}{2}×3-\frac{9}{2}$=9，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（$\frac{9}{2}×{3}^{n}$-$\frac{9}{2}$）-（$\frac{9}{2}×{3}^{n-1}$-$\frac{9}{2}$）=3ⁿ⁺¹，
当n=1时，上式成立，
∴数列{a_n}的通项公式${a}_{n}={3}^{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．