Question

18．若（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中各项系数的和等于64，则展开式中x³的系数是15．

Answer 1

分析 令x=1，则（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中各项系数的和=2ⁿ=64，解得n．再利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：令x=1，则（x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（n∈N^*）展开式中各项系数的和为：2ⁿ=64，解得n=6．
∴$（x+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{6}$的展开式的通项公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{6}^{r}$${x}^{6-\frac{3}{2}r}$，
令$6-\frac{3}{2}r$=3，解得r=2．
∴展开式中x³的系数为：${∁}_{6}^{2}$=15．
故答案为：15．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．