Question

7．已知f（x）=2cos²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx，x∈R
（1）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=-1，a=$\sqrt{7}$，且2sinB=3sinC，求边长b和c的值．

Answer 1

分析 （1）首先利用倍角公式降幂，再利用两角差的正弦化积，结合复合函数的单调性求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递减区间；
（2）由f（A）=-1求得角A，再由余弦定理列关于a，b的方程，由正弦定理把2sinB=3sinC化为边的关系，最后来了方程组求得答案．

解答 解：f（x）=2cos²x-2$\sqrt{3}$sinxcosx=1+cos2x$-\sqrt{3}sin2x$
=$-2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x）+1$=$-2sin（2x-\frac{π}{6}）+1$．
（1）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
取k=0，得$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递减区间为[0，$\frac{π}{3}$]；
（2）由f（A）=-2sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1=-1，得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜A＜π，
∴$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，则2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
又a=$\sqrt{7}$，且2sinB=3sinC，即2b=3c，①
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bc•cosA，
即$7={b}^{2}+{c}^{2}-2bc•\frac{1}{2}={b}^{2}+{c}^{2}-bc$，②
联立①②得：b=3，c=2．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，是中档题．