Question

19．某品牌新款夏装即将上市，为了对夏装进行合理定价，在该地区的三家连锁店各进行了两天试销售，得到如下数据：

连锁店	A店		B店		C店
售价x（元）	80	86	82	88	84	90
销售量y（件）	88	78	85	75	82	66

（1）以三家连锁店分别的平均售价和平均销量为散点，求出售价与销量的回归直线方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）在大量投入市场后，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该夏装成本价为40元/件，为使该款夏装在销售上获得最大利润，该款夏装的单价应定为多少元（保留整数）？$\left\{\begin{array}{l}\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}（{{y_i}-\overline y}）}}{{{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）}}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}\\ \widehata=\overline y-\widehatb\overline x\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）先求出三家连锁店的平均年售价和平均销量，根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程．
（2）设定价为x，得出利润关于x的函数f（x），利用二次函数的性质求出f（x）的极大值点．

解答 解：（1）三家连锁店的平均售价和销售量分别为A（83，83），B（85，80），C（87，74）．
∴$\overline{x}$=$\frac{83+85+87}{3}$=85，$\overline{y}$=$\frac{83+80+74}{3}$=79．
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{-2×4+0×1+2×（-5）}{4+0+4}$=-2.25，$\stackrel{∧}{a}$=79-（-2.25）×85=270.25．
∴售价与销量的回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=-2.25x+270.25．
（2）设定价为x元，则利润为f（x）=（x-40）（-2.25x+270.25）=-2.25x²+360.25x-10810．
∴当x=$\frac{360.25}{4.5}$≈80时，f（x）取得最大值，即利润最大．

点评 本题考查了线性回归方程的求解，二次函数的性质，属于中档题．