Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+4}$，则a_n=$\frac{1}{{2}^{2n-1}-1}$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}构成以2为首项，以4为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式后可得a_n．

解答 解：由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+4}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{4}{{a}_{n}}+3$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=4（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}+1=2≠0$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}构成以2为首项，以4为公比的等比数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}+1=2×{4}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{2n-1}-1}$．
故答案为：$\frac{1}{{2}^{2n-1}-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．