Question

4．已知等差数列{a_n}中，a₁₀=19公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求a_n；
（2）设b_n=a_n2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁，a₂，a₅成等比数列，可得${a}_{2}^{2}$=a₁•a₅，即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁•（a₁+4d），与a₁₀=19=a₁+9d，联立解出即可得出．
（2）b_n=a_n2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，a₂，a₅成等比数列，∴${a}_{2}^{2}$=a₁•a₅，即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁•（a₁+4d），
∵a₁₀=19=a₁+9d，联立解得：a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=a_n2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
2S_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴${S_n}=（{2n-3}）{2^{n+1}}+6$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．