Question

19．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=5S₂，2a₁+1=a₃．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过联立S₅=5S₂、2a₁+1=a₃，计算可知a₁=d=1，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₅=5S₂，2a₁+1=a₃，
∴5a₁+10d=5（2a₁+d），2a₁+1=a₁+2d，
整理得：a₁=d=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．