Question

9．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q垂直于AP，并证明你的结论．

Answer 1

分析 解法一：（1）如图：连AC，设AC∩BD=O，$AP与面BDD_1^{\;}B_1^{\;}交于点G，连OG$．利用线面平行的性质可得：OG∥PC．利用三角形中位线定理及其线面垂直的判定可得：AO⊥平面BDD₁B₁，可得线面角，利用直角三角形的边角关系即可得出．
（Ⅱ）依题意，要在A₁C₁上找一点Q，使得D₁Q⊥AP．只需D₁Q⊥平面ACC₁A₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，可推测A₁C₁的中点$O_1^{\;}$即为所求的Q点再利用线面垂直的判定与性质定理即可．
解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用法向量的性质、线面垂直的判定与性质定理、向量夹角公式即可得出．
（2）若在$A_1^{\;}C_1^{\;}$上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，依题意，对任意的m要使D₁Q⊥AP，利用$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$$•\overrightarrow{AP}$=0，解出x即可得出．

解答 解法一：（1）如图：连AC，设AC∩BD=O，$AP与面BDD_1^{\;}B_1^{\;}交于点G，连OG$．…（1分）$因为PC∥面BDD_1^{\;}B_1^{\;}，面BDD_1^{\;}B_1^{\;}∩面APC=OG$，
故OG∥PC．所以$OG=\frac{1}{2}PC=\frac{m}{2}$．
又$AO⊥DB，AO⊥BB_1^{\;}，所以AO⊥面BDD_1^{\;}B_1^{\;}$…（3分）
故$∠AGO即为AP与面BDD_1^{\;}B_1^{\;}所成的角$．…（4分）
在Rt△AOG中，tan∠AGO=$\frac{OA}{OG}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{m}{2}}$=3$\sqrt{2}$，即$m=\frac{1}{3}$．
故当$m=\frac{1}{3}$时，直线AP与平面BDD₁B₁所成的角的正切值为3$\sqrt{2}$．…（6分）

（Ⅱ）依题意，要在A₁C₁上找一点Q，使得D₁Q⊥AP．只需D₁Q⊥平面ACC₁A₁，…（7分）
设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，可推测A₁C₁的中点$O_1^{\;}$即为所求的Q点．…（8分）
因为$D_1^{\;}O_1^{\;}⊥A_1^{\;}C_1^{\;}$．$D_1^{\;}O_1^{\;}⊥AA_1^{\;}$，
所以D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，
即D₁Q⊥平面ACC₁A₁，…（10分）
又AP?平面ACC₁A₁，
故D₁O₁⊥AP．即D₁Q⊥AP．…（12分）
解法二：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，…（1分
则A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，1，m），
C（0，1，0），D（0，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1）．
所以$\overrightarrow{BD}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1），
$\overrightarrow{AP}$═（-1，1，m），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），…（2分）
又由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=0，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BB_1^{\;}}=0知\overrightarrow{AC}为平面BB_1^{\;}D_1^{\;}D$的一个法向量．…（3分）
设AP与$面BDD_1^{\;}B_1^{\;}$所成的角为θ，
则$sinθ=cos（\frac{π}{2}-θ）=\frac{{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{AC}|}}=\frac{2}{{\sqrt{2}•\sqrt{{2+m_{\;}^2}}}}$…（4分）
依题意有：$\frac{2}{{\sqrt{2}•\sqrt{{2+m_{\;}^2}}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{{\sqrt{{1+（3\sqrt{2}）_{\;}^2}}}}$，解得$m=\frac{1}{3}$．…（5分）
故当$m=\frac{1}{3}$时，直线$AP与平面BDD_1^{\;}B_1^{\;}所成的角的正切值为$$3\sqrt{2}$．…（6分）
（2）若在$A_1^{\;}C_1^{\;}$上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，…（7分）
则$Q（x，1-x，1），\overrightarrow{{D_1}Q}=（x，1-x，0）$．…（8分）
依题意，对任意的m要使D₁Q⊥AP，$\overrightarrow{{D}_{1}Q}$$•\overrightarrow{AP}$=-x+（1-x）+0=0，解得x=$\frac{1}{2}$．…（9分）
即C为D的中点时，满足题设的要求．…（12分）

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的性质、向量夹角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．