Question

18．数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，且对于任意n∈N₊都满足a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，则数列{a_n•a_n+1}的前n项和为（　　）

• A． $\frac{1}{3n+1}$
• B． $\frac{n}{3n+1}$
• C． $\frac{1}{3n-2}$
• D． $\frac{n}{2（3n+2）}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，且对于任意n∈N₊都满足a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，且对于任意n∈N₊都满足a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为2，公差为3．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+3（n-1）=3n-1，
∴a_n=$\frac{1}{3n-1}$，
∴a_n•a_n+1=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴数列{a_n•a_n+1}的前n项和=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$
=$\frac{n}{6n+4}$．
故选：D．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．