Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$，数列{b_n}的通项为b_n=f（n），且f（n）满足：①f（1）=$\frac{1}{2}$；②对任意正整数m，n，都有f（m+n）=f（m）f（n）成立．
（1）求a_n与b_n；
（2）设数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据条件结合数列的递推公式以及等比数列的定义进行求解即可．
（2）求出数列{a_nb_n}的通项公式，利用错位相减法进行求解即可．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{{n^2}+n}}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}+n-1}{2}$=n，
当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1+1}{2}=1$满足a_n=n，
即a_n=n．
∵对任意正整数m，n，都有f（m+n）=f（m）f（n），
∴当m=1时，f（1+n）=f（1）f（n）=$\frac{1}{2}$f（n），
即f（n）是公比q=$\frac{1}{2}$的等比数列，则b_n=f（n）=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
（2）a_nb_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
则T_n=1•（$\frac{1}{2}$）+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，①
$\frac{1}{2}$T_n=（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，②
两式相减得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
即T_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ•

点评 本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算，根据递推数列以及等比数列求出数列的通项公式以及利用错位相减法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．