Question

7．已知正项数列{a_n}前n项和为S_n，且2S_n=a_n²+n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）2S_n=a_n²+n-1（n∈N⁺），可得2a₁=${a}_{1}^{2}$，a₁＞0，解得a₁．n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1），再利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵2S_n=a_n²+n-1（n∈N⁺），∴2a₁=${a}_{1}^{2}$，a₁＞0，解得a₁=2．
n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n²+n-1-（${a}_{n-1}^{2}$+n-2），化为：$（{a}_{n}-1）^{2}$=${a}_{n-1}^{2}$，
∴（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1-1）=0，a_n+a_n-1=1舍去．
可得a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为2，公差为1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（II）b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{n+2}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．