Question

13．在某城市气象部门的数据中，随机抽取100天的空气质量指数的监测数据如表

空气质量指数t	（0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200）	（200，300]	（300，+∞）
质量等级	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	严重污染
天数K	5	23	22	25	15	10

（1）若该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量t（t取整数）存在如下关系y=$\left\{\begin{array}{l}{t，t≤100}\\{2t-100，100＜t≤300}\\{\;}\end{array}\right.$且当t＞300时，y＞500，估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；
（2）若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合与曲线 $\stackrel{∧}{y}$=a+blnt，现已取出了10对样本数据（t_i，y_i）（i=1，2，3，…，10）且知$\sum_{i=1}^{10}$lnt_i=70，$\sum_{i=1}^{10}$y_i=6000，$\sum_{i=1}^{10}$y_ilnt_i=42500，$\sum_{i=1}^{10}$（lnt_i）²=500试用可线性化的回归方法，求拟合曲线的表达式
（附：线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=a+bx中，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）令y＞200解出t的取值范围，根据频数分布表计算此范围内的频率，则此频率近似等于所求的概率；
（2）令x=lnt，利用回归系数公式求出y关于x的回归方程，再得出y关于t的拟合曲线．

解答 解：（1）令y＞200得2t-100＞200，解得t＞150，
∴当t＞150时，病人数超过200人．
由频数分布表可知100天内空气指数t＞150的天数为25+15+10=50．
∴病人数超过200人的概率P=$\frac{50}{100}=\frac{1}{2}$．
（2）令x=lnt，则y与x线性相关，$\overline{x}$=$\frac{\sum_{i=1}^{10}ln{t}_{i}}{10}$=7，$\overline{y}=\frac{\sum_{i=1}^{10}{y}_{i}}{10}$=600，
∴b=$\frac{\sum_{i=1}^{10}{y}_{i}ln{t}_{i}-10\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{10}ln{{t}_{i}}^{2}-10{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{42500-10×7×600}{500-10×49}$=50，a=600-50×7=250．
∴拟合曲线方程为y=50x+250=50lnt+250．

点评 本题考查了用样本的频率估计概率，可化为线性相关的回归方程的求解，属于中档题．