Question

8．设数列{a_n}的前项和为S_n，若点A_n（n，$\frac{S_n}{n}}$）在函数f（x）=-x+c的图象上运动，其中c是与x无关的常数且a₁=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=tana_n+1•tana_n，tan195+tan3=atan2，求数列{b_n}的前99项和（用含a的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）由点A_n（n，$\frac{S_n}{n}}$）在函数f（x）=-x+c的图象上运动，可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，即S_n=-n²+cn，由于c是与x无关的常数且a₁=3．代入可得c，再利用递推关系即可得出．
（II）由tan（a_n+1-a_n）=$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{1+tan{a}_{n+1}tan{a}_{n}}$，可得b_n=tana_n+1•tana_n=-$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{tan2}$-1．即可得出．

解答 解：（1）∵点A_n（n，$\frac{S_n}{n}}$）在函数f（x）=-x+c的图象上运动，∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=-n+c，∴S_n=-n²+cn，
∵c是与x无关的常数且a₁=3．∴3=-1+c，解答c=4．
∴S_n=-n²+4n．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-n²+4n-[-（n-1）²+4（n-1）]=-2n+5，n=1时也成立．
（II）∵tan（a_n+1-a_n）=$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{1+tan{a}_{n+1}tan{a}_{n}}$，∴b_n=tana_n+1•tana_n=$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{tan（-2）}$-1=-$\frac{tan{a}_{n+1}-tan{a}_{n}}{tan2}$-1．
∴数列{b_n}的前99项和T₉₉=-$\frac{1}{tan2}[（tan{a}_{100}-tan{a}_{99}）$+（tana₉₉-tana₉₈）+…+（tana₂-tana₁）]-99
=-$\frac{tan（-195）-tan3}{tan2}$-99
=a-99．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、递推关系、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．