Question

20．如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：CO⊥面VAB；
（3）求三棱锥C-VAB的体积．

Answer 1

分析 （1）由中位线定理得VB∥OM，故而VB∥平面MOC；
（2）由三线合一可知OC⊥AB，利用面面垂直的性质得出OC⊥平面VAB；
（3）由勾股定理求出AB，OC，得出△VAB的面积，代入棱锥的体积公式即可．

解答 证明：（1）∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴VB∥OM，又VB?平面MOC，OM?平面MOC，
∴VB∥平面MOC．
（2）∵AC=BC，O是AB的中点，
∴OC⊥AB，
又平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，OC?平面ABC，
∴OC⊥平面VAB．
（3）∵AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，∴AB=2．
∴OC=$\frac{1}{2}$AB=1．
∵△VAB为等边三角形，
∴S_△VAB=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$．
∴V_C-VAB=$\frac{1}{3}{S}_{△VAB}•OC$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．