Question

5．设函数f（x）=ax²+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[-1，1]都有|f（x）|≤$\frac{1}{2}$．
（1）求|f（2）|的最大值；
（2）求证：对任意的x∈[-1，1]，都有|g（x）|≤1．

Answer 1

分析 （1）由|f（x）|≤$\frac{1}{2}$得|f（0）|≤$\frac{1}{2}$，|f（1）|≤$\frac{1}{2}$，|f（-1）|≤$\frac{1}{2}$，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；
（2）由（1）得出|g（±1）|$≤\frac{1}{2}$，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵对任意的x∈[-1，1]都有|f（x）|≤$\frac{1}{2}$．
|f（0）|≤$\frac{1}{2}$，|f（1）|≤$\frac{1}{2}$，|f（-1）|≤$\frac{1}{2}$，
∴|c|≤$\frac{1}{2}$，|a+b+c|≤$\frac{1}{2}$，|a-b+c|≤$\frac{1}{2}$；
∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a-b+c）-3c|≤|3（a+b+c）|+|（a-b+c）|+|-3c|≤$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$．
∴|f（2）|的最大值为$\frac{7}{2}$．
（2）∵-$\frac{1}{2}$≤a+b+c≤$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$≤a-b+c≤$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$≤c≤$\frac{1}{2}$，
∴-1≤a+b≤1，-1≤a-b≤1，
∴-1≤a≤1，
若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，
若c|x|+bx≠0，则g（x）为单调函数，
|g（-1）|=|a-b+c|≤$\frac{1}{2}$，|g（1）|=|a+b+c|≤$\frac{1}{2}$，
∴|g（x）|$≤\frac{1}{2}$．
综上，|g（x）|≤1．

点评 本题考查了绝对值三角不等式，不等式的性质，属于中档题．