Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，2），$\overrightarrow{b}$=（2，x），若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{2}$，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=6$\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据向量垂直的等价条件求出x，结合向量的模长公式进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$与2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{2}$，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
∵$\overrightarrow{a}$=（x，2），$\overrightarrow{b}$=（2，x），
∴$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（x+4，2+2x），2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2x+2，x+4），
则（x+4）（2+2x）+（2x+2）（x+4）=0，
即2（x+4）（2+2x）=0，
则x=-4或x=-1，
若x=-4，则$\overrightarrow{a}$=（-4，2），$\overrightarrow{b}$=（2，-4），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-6，6），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
若x=-1，则$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，-1），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-3，3），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
故答案为：6$\sqrt{2}$或3$\sqrt{2}$，

点评 本题主要考查平面向量的应用，根据向量的垂直关系求出x的值，结合向量的模长公式进行计算是解决本题的关键．