Question

4．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA₁=2$\sqrt{3}$，D、E分别为AA₁、BC₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求BC与平面BC₁D所成角；
（3）求三棱锥C-BC₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC中点F，连结AF，EF，则可证四边形AFED是平行四边形，得出DE∥AF，将问题转化为证明AF⊥平面BB₁C₁C；
（2）过C作CM⊥BC₁于M点，则CM⊥平面BC₁D，于是∠CBC₁就是BC与平面BC₁D所成的角，在Rt△BCC₁解出∠CBC₁即可；
（3）V${\;}_{C-B{C}_{1}D}$=V${\;}_{D-BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BC{C}_{1}}•DE$．

解答 证明：（1）取BC中点F，连结AF，EF，
∵E，F分别是BC₁，BC的中点，
∴$EF∥C{C_1}，EF=\frac{1}{2}C{C_1}$，
∵$AD∥C{C_1}，AD=\frac{1}{2}C{C_1}$，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴四边形AFED为平行四边形，
∴DE∥AF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AF⊥BC，
∵CC₁⊥平面ABC，AF?平面ABC，
∴CC₁⊥AF，又CC₁?平面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，BC∩CC₁=C，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，又DE∥AF，
∴DE⊥平面BB₁C₁C．
（2）由（1）可得，平面AFED⊥平面BB₁C₁C，
过C作CM⊥BC₁于M点，则CM⊥平面BC₁D，
∴∠CBC₁就是BC与平面BC₁D所成的角，
∵$tan∠CB{C_1}=\frac{{C{C_1}}}{BC}=\sqrt{3}$，
∴∠CBC₁=60°．即BC与平面BC₁D所成角为60°．
（3）∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AF=$\sqrt{3}$．∴DE=$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{C-B{C}_{1}D}$=V${\;}_{D-BC{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BC{C}_{1}}•DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}×\sqrt{3}$=2．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，棱锥的体积，属于中档题．