Question

10．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，则|2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角，建立平面直角坐标系，设$\overrightarrow{a}$=（2，0），则$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），根据数量积的几何意义得出C的轨迹，利用点到圆的最短距离求出|2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，∴cos＜$\overrightarrow{a}，b$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=60°．
设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，
∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴$\overrightarrow{CA}⊥\overrightarrow{CB}$，∴C的轨迹为以AB为直径的圆M．
其中M（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），半径r=1．
延长OB到D，则D（2，2$\sqrt{3}$）．连结DM，交圆M于C点，则CD为|2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值．
DM=$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴CD=$\sqrt{7}-1$．
故答案为：$\sqrt{7}$-1．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的几何意义，属于中档题．