Question

15．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_n．a_n+1，b_n=a_n-1数列{b_n}的前n项和为S_n，T_n=S_2n-S_n．
（I）求证：数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列；
（Ⅱ）求T_n的最小值．

Answer 1

分析 （I）化简可得2（a_n-1）+2=（a_n-1）（a_n+1-1）+（a_n-1）+（a_n+1-1）+2，从而可得$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+1，从而证明．
（Ⅱ）由（I）知$\frac{1}{{b}_{n}}$=n，从而可得b_n=$\frac{1}{n}$，从而化简T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，从而判断即可．

解答 解：（I）证明：∵2a_n=1+a_n．a_n+1，
∴2（a_n-1）+2=（a_n-1）（a_n+1-1）+（a_n-1）+（a_n+1-1）+2，
∴a_n-1=（a_n-1）（a_n+1-1）+（a_n+1-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$+1，
即$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{{b}_{n}}$+1，
故数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}为公差为1的等差数列；
（Ⅱ）$\frac{1}{{b}_{1}}$=$\frac{1}{2-1}$=1，
故$\frac{1}{{b}_{n}}$=1+1•（n-1）=n，
故b_n=$\frac{1}{n}$，
故T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$，
故T_n+1-T_n=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$）
=$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{n+1}$＞0，
故当n=1时有最小值，即T₁=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的性质及数列的判断，同时考查了整体思想与转化思想的应用．