Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=m，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n=2k-1}\\{{a}_{n}+r，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*，r∈R），其前n项和为S_n．
（1）当m与r满足什么关系时，对任意的n∈N^*，数列{a_n}都满足a_n+2=a_n？
（2）对任意实数m，r，是否存在实数p与q，使得{a_2n+1+p}与{a_2n+q}是同一个等比数列？若存在，请求出p，q满足的条件；若不存在，请说明理由；
（3）当m=r=1时，若对任意的n∈N^*，都有S_n≥λa_n，求实数λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意a₁=m，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n=2k-1}\\{{a}_{n}+r，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*，r∈R），得a₂=2a₁=2m，a₃=a₂+r=2m+r，由a₃=a₁，得m+r=0．当m+r=0时，可得：a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n=2k-1}\\{{a}_{n}-m，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*），即可得出．
（2）依题意，a_2n+1=a_2n+r=2a_2n-1+r，则a_2n+1+r=2（a_2n-1+r），由a₁+r=m+r，当m+r≠0时，{a_2n+1+r}是等比数列，且a_2n+1+r=$（{a}_{1}+r）•{2}^{n}$=（m+r）•2ⁿ．
为使{a_2n+1+p}是等比数列，则p=r．同理，当m+r≠0时，a_2n+2r=（m+r）•2ⁿ，则{a_2n+2r}是等比数列，则q=2r．即可得出．
（3）当m=r=1时，由（2）可得a_2n-1=2ⁿ-1，a_2n=2ⁿ⁺¹-2，当n=2k时，a_n=a_2k=2^k+1-2；当n=2k-1时，a_n=a_2k-1=2^k-1，进而得出．

解答 解：（1）由题意a₁=m，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n=2k-1}\\{{a}_{n}+r，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*，r∈R），
得a₂=2a₁=2m，a₃=a₂+r=2m+r，
首先由a₃=a₁，得m+r=0．
当m+r=0时，可得：a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n=2k-1}\\{{a}_{n}-m，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*），
∴a₁=a₃=…=m，
a₂=a₄=…=2m，
故对任意的n∈N^*，数列{a_n}都满足a_n+2=a_n．
即当实数m，r满足m+r=0时，题意成立．
（2）依题意，a_2n+1=a_2n+r=2a_2n-1+r，则a_2n+1+r=2（a_2n-1+r），
因为a₁+r=m+r，所以当m+r≠0时，{a_2n+1+r}是等比数列，且a_2n+1+r=$（{a}_{1}+r）•{2}^{n}$=（m+r）•2ⁿ．
为使{a_2n+1+p}是等比数列，则p=r．
同理，当m+r≠0时，a_2n+2r=（m+r）•2ⁿ，则{a_2n+2r}是等比数列，则q=2r．
综上所述：
①若m+r=0，则不存在实数p，q，使得{a_2n+1+p}与{a_2n+q}是等比数列；
②若m+r≠0，则当p，q满足q=2p=2r时，{a_2n+1+p}与{a_2n+q}是同一个等比数列．
（3）当m=r=1时，由（2）可得a_2n-1=2ⁿ-1，a_2n=2ⁿ⁺¹-2，
当n=2k时，a_n=a_2k=2^k+1-2，
S_n=S_2k=（2+2²+…+2^k）+（2²+2³+…+2^k+1）-3k=$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$+$\frac{4（{2}^{k}-1）}{2-1}$-3k=3（2^k+1-k-2）．
所以$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=3$（1-\frac{k}{{2}^{k+1}-2}）$，
令c_k=$\frac{k}{{2}^{k+1}-2}$，则c_k+1-c_k=$\frac{k+1}{{2}^{k+2}-2}$-$\frac{k}{{2}^{k+1}-2}$=$\frac{（1-k）•{2}^{k+1}-2}{（{2}^{k+2}-2）（{2}^{k+1}-2）}$＜0，
所以$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$$≥\frac{3}{2}$，$λ≤\frac{3}{2}$，
当n=2k-1时，a_n=a_2k-1=2^k-1，S_n=S_2k-a_2k=3（2^k+1-k-2）-（2^k+1-2）=2^k+2-3k-4，
所以$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=4-$\frac{3k}{{2}^{k}-1}$，同理可得$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$≥1，λ≤1，
综上所述，实数λ的最大值为1．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．